Lucru mecanic

De la Capisci

Lucrul mecanic este probabil unul dintre cei mai oropsiţi copii ai fizicii: e un concept deosebit de intuitiv odată înţeles, dar de regulă se trece atât de repede peste el încât păstrează pentru mulţi o oarecare aură de mister. Hai să vedem despre ce e vorba de fapt.

Cuprins 1 Un exemplu introductiv 2 Extrapolând un exemplu clasic 3 Atunci de ce am învăţat o definiţie mai complicată? 4 Un exemplu mai realist 5 Note

Un exemplu introductiv

Să spunem că aveţi de împins un frigider din bucătărie până pe hol, trei metri mai încolo. Evident că e nevoie să aplicaţi o forţă oarecare pentru a învinge frecarea picioarelor frigiderului pe gresie. Să presupunem pentru simplificare că odată ce aţi reuşit să-l mişcaţi din loc, forţa pe care o aplicaţi este constantă. Ei bine, cum aţi proceda dacă ar trebui să estimaţi efortul necesar pentru acest demers? Nu vă gândiţi la fizică, gândiţi-vă că aţi fi muncitor cu ziua – ce factori aţi lua în calcul atunci când aţi cere banii la sfârşitul zilei pentru mutatul frigiderului? Păi în primul rând mărimea frigiderului, nu-i aşa? Dacă-i un frigideraş mic poate nici nu v-aţi aminti că l-aţi mutat, dar o combină frigorifică cât toate zilele ar necesita o grămadă de efort. Pe de altă parte, chiar şi un frigider mare ar putea fi uşor de mutat dacă ar avea roţi – dar din păcate pentru dumneavoastră frigiderele nu prea obişnuiesc să aibă roţi (compresorul tinde să vibreze şi v-ar pleca frigiderul prin casă). Aceste consideraţii (greutatea frigiderului şi absenţa roţilor) vă dau o idee despre forţa de frecare pe care va trebui s-o învingeţi, sau altfel spus despre forţa pe care va trebui s-o aplicaţi pentru a muta frigiderul. Al doilea factor pe care l-aţi lua în calcul ar fi, evident, distanţa pe care care trebuie să o parcurgă frigiderul – e mare diferenţă între a-l împinge câţiva centimetri şi câţiva metri. Cu alte cuvinte, munca dumneavoastră ar fi cuantificată de produsul dintre forţa pe care o aplicaţi şi distanţa pe care aplicaţi această forţă^[1]. Iar cum rezultatul muncii dumneavoastră este de natură mecanică, ea a primit numele de lucru mecanic.

Fiind produsul dintre forţă şi distanţă, lucrul mecanic s-ar putea măsura în . Totuşi, pentru că în sens mai larg se poate efectua orice fel de lucru (nu doar mecanic), în Sistemul Internaţional unitatea de măsură a lucrului este joule-ul, notat J. Astfel, dacă în exemplul cu frigiderul forţa de frecare este de 200 N (echivalentul ridicării unei greutăţi de aproximativ 20 kg, deci un frigider destul de greu), atunci lucrul mecanic efectuat atunci când îl mutaţi trei metri ar fi de .

Acum hai să ne întrebăm în ce fel interacţionează cele două sisteme – corpul dumneavoastră şi frigiderul. Este evident că dumneavoastră depuneţi un efort pentru a muta frigiderul, deci corpul dumneavoastră pierde energie (de-asta vi se face mai foame după o zi de muncă fizică intensă decât după o duminică de leneveală – mâncarea este sursa noastră de energie, deci cu cât cheltuiţi mai multă energie cu atât trebuie să mâncaţi mai mult). Frigiderul însă cu ce se alege? Aparent cu nimic – nu l-aţi ridicat de la pământ ca să obţină energie potenţială, iar puţina energie cinetică pe care v-aţi ostenit să i-o oferiţi se pierde imediat ce încetaţi să-l mai împingeţi. Însă conform legii conservării energiei nu e posibil ca toată energia pe care am investit-o în acest demers să se fi pierdut – trebuie să se fi dus undeva, dar unde? Ei bine, s-a transformat în energie termică, prin frecarea picioarelor frigiderului de gresie. Sigur, încălzirea picioarelor şi a gresiei este nesemnificativă şi inutilă, însă energia nu a dispărut – doar s-a transformat.

Constatăm deci că prin efectuarea de lucru mecanic (şi prin extensie prin orice alt fel de lucru, în sensul larg al cuvântului) are loc un transfer de energie. Astfel, lucrul mecanic poate fi definit la fel de bine şi drept cantitatea de energie transferată de o forţă ce acţionează pe o distanţă dată. Definiţia este riguros corectă şi putem verifica asta şi prin faptul că şi energia se măsoară tot în jouli.

Extrapolând un exemplu clasic

În exemplul de deasupra forţa noastră muncea să învingă frecarea. Atunci când se predă lucrul mecanic, exemplul uzual este o lume ideală (fără frecare) în care luptăm să învingem gravitaţia, ridicând o greutate la o înălţime oarecare. E un exemplu bun pentru că ilustrează elegant, deşi poate nu foarte intuitiv, legea conservării energiei. Exemplul clasic este echivalent cu mutarea unui geamantan din dulapul apartamentului nostru aflat la etajul doi până în holul bunicii aflat la etajul patru. La început toate-s bune şi frumoase: noi cheltuim energie urcând geamantanul pe scări, iar geamantanul capătă în schimb aceeaşi cantitate de energie potenţială. Partea mai ciudată începe atunci când ni se spune că nu contează pe ce drum alegem să ducem geamantanul, fiindcă lucrul mecanic e acelaşi. Ceea ce sună tare dubios – cum adică, vrei să spui că e la fel de uşor dacă mă duc direct la bunica sau dacă plimb după mine geamantanul până jos la alimentara şi urc după aia cu el? Ştiu foarte bine că nu e acelaşi lucru, indiferent ce spun formulele!

Realitatea este că în aceste condiţii lucrul mecanic efectiv este într-adevăr acelaşi indiferent de drumul pe care îl alegem, însă asta nu înseamnă că efortul real al dumneavoastră este identic. Iar asta pentru că în teorie (suntem într-o lume ideală, în caz că aţi uitat premiza), în teorie atunci când coborâm până la alimentara am putea obţine energie de la geamantan – energia potenţială pe care o pierde coborând de la etajul doi la parter. În teorie am putea folosi această rezervă de energie pentru a urca înapoi la etajul doi, începând să cheltuim energie „adevărată” abia de acolo până la bunica, la patru. Extrapolând, am putea escalada şi Everestul cu geamantanul în spate înainte de a urca la bunica – cheltuim energie pentru a urca geamantanul la 8.848 de metri, dar în teorie am putea-o recupera pe toată la coborâre. Am putea face înconjurul lumii cu geamantanul în cârcă, coborând în Groapa Marianelor şi urcând pe toţi munţii din cale şi tot nu ar conta. (Sigur, în Groapa Marianelor ar trebui să fim tare atenţi să nu udăm hainele din geamantan, fiindcă greutatea suplimentară ne-ar da peste cap toate socotelile.) Se vede astfel că putem duce absurditatea şi mai departe: nici nu contează în ce bloc locuieşte bunica – poate să fie blocul în care locuim şi noi sau pe partea cealaltă a Pământului, lucrul mecanic pe care l-am efectua pentru a învinge gravitaţia ar fi acelaşi, cu condiţia să plecăm şi să ajungem la aceleaşi altitudini în ambele cazuri. De exemplu Bucureştiul şi Beijingul se află cam la aceeaşi altitudine, deci bunica ar putea să se afle în oricare dintre cele două oraşe, iar pe noi nu ne-ar interesa decât etajul la care locuieşte, indiferent de unde am pleca!

De ce însă lucrurile nu stau aşa? Pentru că în realitate noi nu putem recupera energia potenţială pierdută de geamantan la coborâre – dacă am reuşi să obţinem energie în felul ăsta atunci în loc să mâncăm ne-am urca cu liftul la ultimul etaj şi am coborî pe scări. Dar câte drumuri ar trebui să facem ca să echivaleze cu un prânz? Rămânem evident în lumea noastră ideală, fiindcă doar acolo ne putem hrăni cu drumuri pe scări, şi presupunem că am putea transforma orice formă de energie în orice altă formă fără pierderi. Trebuie să calculăm lucrul mecanic pe care îl face gravitaţia asupra noastră de-a lungul coborârii. Dacă aveţi 70 de kilograme înseamnă că aveţi o greutate de . Dacă blocul în care locuiţi are zece etaje şi înălţimea fiecărui etaj e de 3,5 m atunci de la podeaua etajului zece până la parter sunt 35 m. Cu alte cuvinte beneficiaţi de un aport de energie de . Dar cum convertim asta în mâncare? Dacă vă uitaţi pe eticheta oricărui produs alimentar veţi găsi valoarea energetică a produsului respectiv în mod explicit în kJ/n grame^[2]: o felie de şuncă conţine cam 182 kJ. Deci ar fi nevoie de vreo şase drumuri ca să echivalăm o felie de şuncă; aportul recomandat de energie este de 2.000 kcal pe zi, deci ar fi nevoie să facem cam 400 de astfel de coborâri pe zi – 4.000 de etaje!

Dar dacă aţi fi de două ori mai greu – dacă în loc de 70 de kilograme aţi avea 140 de kilograme? Atunci aţi obţine de două ori mai multă energie la fiecare drum, drept care nu aţi avea nevoie decât de aproximativ 200 de drumuri pe zi. La prima vedere pare ciudat, însă nu uitaţi că tot raţionamentul nostru e cu susul în jos. Dacă ne amintim de legea conservării energiei realizăm că lucrurile sunt perfect simetrice: un aport extern de energie ne-ar permite să urcăm de tot atâtea ori pe zi – cu alte cuvinte, persoana de 70 de kilograme ar putea urca 4.000 de etaje pe zi cheltuind aceeaşi cantitate de energie ca o persoană de 140 de kilograme care ar urca „doar” 2.000 de etaje. Evident, în realitate nimeni nu poate urca 4.000 de etaje cu 2.000 de calorii din două motive: în primul rând pentru că folosim o parte semnificativă din energia pe care o asimilăm pentru procese biologice independente de locomoţie, iar în al doilea rând pentru că nu avem un randament unitar în procesarea energiei care ne parvine prin mâncare. ^[3]

Atunci de ce am învăţat o definiţie mai complicată?

Ei, acum că ne-am lămurit cu ce se mănâncă lucrul mecanic în principiu, hai să ne punem nişte întrebări mai creative. Să reluăm exemplul cu frigiderul în contextul primei definiţiei la care am ajuns mai sus, conform căreia lucrul mecanic ar fi produsul dintre forţa pe care o aplicaţi şi distanţa pe care aplicaţi această forţă. Dacă această definiţie ar fi 100% corectă atunci aţi putea fenta frigiderul în felul următor: v-aţi căţăra sus pe frigider şi v-aţi împinge uşurel cu piciorul într-un perete. Aţi obţine o cantitate impresionantă de lucru mecanic, pentru că forţa cu care acţionaţi asupra frigiderului ar fi considerabilă: forţa moderată cu care împingeţi în perete s-ar combina cu greutatea dumneavoastră (care acţionează şi ea asupra frigiderului) şi aţi reuşi să amplificaţi astfel lucrul mecanic pentru orice mişcare cât de mică a acestuia.^[4]

Ceva e clar în neregulă cu scenariul de mai sus – dacă lucrurile s-ar petrece aşa atunci am reuşi să generăm energie din nimic!^[5] Din fericire definiţia formală a lucrului mecanic ne scapă de acest paradox: lucrul mecanic este de fapt produsul dintre componenta forţei care acţionează asupra unui corp în direcţia deplasării punctului ei de aplicaţie şi mărimea acestei deplasări. Sună cam pompos şi oficial, dar numai aşa se pot exclude aberaţiile de genul celor care ar fi rezultat din definiţia noastră incompletă.^[6] Într-adevăr, dacă urmăriţi cuvintele subliniate din ultima noastră definiţie descoperiţi că în calculul lucrului mecanic nu ne preocupăm de componentele irosite ale forţei pe care o aplicăm. Cu alte cuvinte, ar fi aproape indiferent^[7] dacă v-aţi urca pe frigider şi-aţi împinge de-acolo: doar componenta orizontală a forţei ar conta, pentru că aceea este direcţia în care mutaţi frigiderul.

Un exemplu mai realist

Hai să presupunem că legăm picioarele frigiderului nostru cu o frânghie pe care ne-o legăm de brâu şi tragem aşa de el până îl mutăm cei trei metri pe care ni i-am propus. Putem descompune forţa pe care o aplicăm pe două direcţii convenabile^[8]: o componentă orizontală (cea care face frigiderul să se mişte) şi o componentă verticală.

Dacă unghiul dintre direcţia de mişcare (orizontală în cazul nostru) şi direcţia forţei se întâmplă să fie tocmai α ca în figura noastră, atunci componenta orizontală a forţei ar avea magnitudinea de

Drept care lucrul mecanic ar fi

Întâmplător asta e totuna cu produsul scalar a doi vectori, în cazul nostru forţa şi direcţia de deplasare. Însă poate aţi observat că nu folosim decât o fracţiune din forţa aplicată ca să generăm lucru mecanic: numai F•cos(α) e utilizat – deci cum rămâne cu cealaltă componentă, cea verticală, cu magnitudinea F•sin(α)? Oare se iroseşte, oare am reuşit până la urmă să încălcăm legea conservării energiei? Deloc: componenta verticală se compune cu greutatea frigiderului (care acţionează tot pe verticală) şi, anulând o parte din greutate, ne scapă de o parte din frecare. În felul ăsta componenta orizontală, cea care trebuie să învingă frecarea, poate fi mai mică decât dacă am aplica întreaga forţă exact pe direcţia orizontală a deplasării. Redescoperim astfel definiţia noastră alternativă, conform căreia lucrul mecanic este cantitatea de energie transferată de o forţă acţionând pe o distanţă dată – sau, acum că suntem la curent cu constrângerile legate de direcţie, lucrul mecanic este cantitatea de energie transferată de o forţă acţionând pe direcţia mişcării, pe distanţa pe care se produce mişcarea. Se vede treaba că într-adevăr, în orice direcţie am aplica forţa asupra frigiderului, energia pe care o cheltuim pentru deplasarea frigiderului echivalează suma energiei irosite pe frecare şi a celei folosite pentru deplasare: dacă orientăm forţa mai în sus scăpăm de o parte din frecare, dar folosim doar o mică parte pentru deplasare; invers, dacă ne apropiem de orizontală folosim o componentă mai mare a forţei aplicate pentru deplasare, dar nu anulăm eficient frecarea.^[9]

Note

1. ↑ Dar de ce tocmai produs între forţă şi distanţă? De ce nu adunare? De ce nu e niciunul dintre membri la pătrat (sau la orice altă putere)? De ce nu se împarte la doi, de ce nu se înmulţeşte cu π? Este produs pentru că altfel am încălca legea conservării energiei. Dacă o greutate (şi prin extrapolare o forţă) de două ori mai mare ar necesita un efort mai mare decât exact dublu, atunci am putea împărţi greutatea în două, am face două drumuri separate şi am reuşi să „trişăm”. Dacă o forţă de două ori mai mare ar necesita energie mai puţină decât exact dublul energiei originale atunci am putea trişa cărând mai multe frigidere odată. Acelaşi raţionament se aplică şi în cazul distanţei (am putea împărţi distanţa în mod convenabil, făcând astfel economie de energie). Iar motivul pentru care nu este necesar niciun coeficient suplimentar ţine de miracolul Sistemului Internaţional, care asigură o consecvenţă remarcabilă între diversele unităţi de măsură folosite în fizica modernă.
2. ↑ Conform directivei 90/496/CEE
3. ↑ De fapt în teorie şi un sistem ineficient poate produce cantităţi considerabile de energie dacă are suficient carburant – uitaţi-vă de exemplu la maşinile americane. Însă pentru a procesa cantităţi mai mari de combustibil pe unitatea de timp ajunge în final să fie necesar proporţional mai mult spaţiu, iar aici îşi intră în drept limitările noastre biologice: americanii pot face motoare oricât de mari, dar oamenii nu pot creşte suficient ca să metabolizeze zeci de mii de calorii pe zi.
4. ↑ Asta presupunând prin absurd că aţi putea urni din loc un frigider în felul ăsta – este evident că s-ar răsturna cu mult înainte de a se mişca din loc. Totuşi scenariul ar sta în picioare (atât la propriu cât şi la figurat) pentru un obiect mai scund – şi vă asigur că legile fizicii nu variază în funcţie de forma frigiderului.
5. ↑ De exemplu am putea monta o presă hidraulică în aşa fel încât să apese foarte tare în jos pe frigider, dar suficient de oblic încât să-l mişte din loc şi am colecta uriaşa energia termică rezultată (aranjamentul ideal ar include o combinaţie de materiale cât mai abrazive la baza frigiderului, în aşa fel încât să maximizăm frecarea pentru a genera cantitatea maximă posibilă de energie termică în punctele de contact cu gresia).
6. ↑ De-asta se exprimă mulţi dintre profesori într-un limbaj extrem de formal: dacă s-ar exprima mai inexact ar avea nevoie de o sumedenie de explicaţii ca să ajungă la definiţia corectă, aşa cum am făcut noi aici. Nimeni nu ştie cum e mai bine până la urmă, aşa că fiecare încearcă să explice în felul lui.
7. ↑ De fapt v-aţi face un deserviciu: aţi avea de înfruntat o forţă de frecare sporită de greutatea dumneavoastră. Aţi genera ce-i drept mai multă căldură în picioarele frigiderului şi pe gresie, dar am pornit de la presupunerea că nu ăsta era scopul.
8. ↑ Nu uitaţi că puteţi descompune orice forţă după orice direcţii doriţi: de dumneavoastră ţine să alegeţi direcţiile în felul în care să vă convină ulterior.
9. ↑ În mod surprinzător, unghiul optim de aplicare al forţei depinde în realitate de relativ mulţi factori, nu există o strategie optimă aplicabilă în orice situaţie.