Calcul aproximativ
De la Capisci
Cuprins |
Introducere
V-aţi întrebat vreodată cât de precisă este o măsurătoare? Iar dacă v-aţi pus această întrebare, probabil că v-aţi confruntat şi cu situaţia în care fie o măsurătoare era prea precisă, fie prea puţin precisă, în raport de contextul de lucru.
La extrem, ne-am putea gândi la butada: după ce am măsurat camera asta cu pasul, măsurăm ultima fracţiune de pas cu interferometrie laser ca să ştim exact cât de mare este această ultimă fracţiune...
Cifre semnificative şi erori
Poate ştiţi că, în domeniul mecanic, un instrument de măsură destul de precis este micrometrul. Acesta, având ca bază un şurub micrometric cu pasul de 0,5 mm, reuşeşte să măsoare o lungime până la nivelul de precizie de o sutime de milimetru (0,01 mm). Un instrument mai puţin precis este şublerul, care ajunge la precizia de o zecime de milimetru (0,1 mm). În fine, un instrument şi mai puţin precis este ruleta, care ne poate oferi precizia de 1 mm. Dacă spuneţi că aţi măsurat o distanţă cu ruleta şi aţi găsit valoarea de 17,7 mm, nu vă crede nimeni! Hai, cel mult, aţi putea spune că era 17,5 mm, dar şi asta ar fi cu semnul întrebării...
Acum să ne închipuim că vrem să măsurăm foarte precis lungimea unei locomotive - peste tampoane. O locomotivă ar putea avea vreo 11 m lungime. Suntem foarte ambiţioşi şi ţinem la precizie. Vrem să facem măsurătoarea cu o precizie de o sutime de milimetru! Pentru asta, să ne închipuim că dispunem de un micrometru care poate măsura un obiect cu lungimea de 11 m. Vă închipuiţi cum ar fi acel micrometru? Pentru a nu se deforma, ar fi probabil supradimensionat (ar avea vreo 12-13 metri lungime, nu?) - într-un cuvânt, un monstru purtat cu macaraua! Iar dacă în hală ar creşte temperatura cu vreo două grade Celsius, megamicrometrul nostru s-ar dilata poate cu un milimetru! Dar în fine, hai să zicem că ar exista un asemenea intrument - ne ducem spre absurd tocmai pentru a ne ilustra ideea... Folosind "monstrul", măsurăm lungimea locomotivei şi obţinem valoarea de 11302,17 mm. Vă daţi seama că doar dacă dăm un bocanc în tampon modificăm această valoare cu milimetri întregi! Nu ne pasă de aceste "speculaţii" şi zicem că da, asta este valoarea măsurată de noi. Foarte bine! Cât ai zis? Păi, am zis că este 11302,17 mm. Avem aici 7 cifre semnificative. Fiecare dintre aceste cifre probabil că exprimă ceva important, din moment ce am făcut uz de un instrument atât de caraghios pentru a le obţine! Cu toate acestea, dacă ne gândim mai bine, locomotiva are o lungime exactă, chiar la nivel de sutime de milimetru, independent de orice, doar atâta că ne este nouă greu s-o aflăm! Numim acea lungime "valoarea reală a lungimii", iar lungimea măsurată de noi "valoarea aproximativă a lungimii".
Buuun, extinzând acum absurditatea, am putea spune că valoarea de 113.021.700.000 (sau cea de 0,00001130217) este importantă şi are o mare semnificaţie pentru noi! Aşa cum era absurdă valoarea din exemplul cu locomotiva, tot aşa sunt şi acestea, să fie clar! Oare nu ar fi de ajuns să spunem că valorile 113.000.000.000 sau 0,0000113 sunt suficient de expresive? La ce bun atâtea cifre nesigure şi inutile?
Pentru a apela la un exemplu mai palpabil, dacă în contul Dvs. de la bancă aţi avea fix 13.304.883 lei (vechi), credeţi că v-ar interesa partea finală de 4883 lei? N-ar fi de ajuns să reţineţi că aveţi vreo 13 milioane şi ceva? Mai precis, n-ar fi mai potrivit să reţineţi valoarea rotundă de 13.300.000 lei? Practic, aici au fost înlocuite cu zero nişte cifre nenule. În felul acesta atenţia ne-a fost mutată pe partea de început a numărului, aşa cum e şi normal.
Bunul simţ ne-a făcut să nu privim cu încredere la ultimele zecimale ale unui număr zecimal şi, deopotrivă, la ultimele cifre semnificative ale unui număr întreg. Totuşi, ne vom întreba: cum putem evalua precizia unui număr? Altfel spus: câte cifre sunt de încredere şi câte nu sunt? Dacă măsurăm locomotiva de 11 metri şi avem o eroare de 1 cm este una, iar dacă avem eroare de o sutime de milimetru, este alta! O altă exprimare poate fi: dacă măsurăm o distanţă de 11 m cu precizie de 1 cm este una, iar dacă măsurăm o distanţă de 100 km cu precizie de 1 cm, este alta! Altfel spus: câte cifre sunt de încredere şi câte nu sunt? Aici intervine eroarea relativă. La rândul ei, eroarea relativă trebuie explicată plecând de la eroarea absolută. Să detaliem...
Eroarea absolută este diferenţa între valoarea reală şi valoarea aproximativă a unei mărimi. Când măsurăm cu precizie de 1 cm, suntem siguri că eroarea absolută nu depăşeşte 1 cm. La fel se petrec lucrurile şi la precizia de 0,01 mm. Să mai adăugăm că, în general, nu putem preciza care este semnul erorii absolute, din pricină că nu putem şti dinainte care este mai mare: valoarea reală sau valoarea aproximativă.
Eroarea absolută în sine nu ne spune, totuşi, mare lucru... Pentru a avea o informaţie pertinentă şi compatibilă, folosim noţiunea de eroare relativă. Eroarea relativă este raportul dintre eroarea absolută şi valoarea mărimii măsurate. Dacă la o mărime de 11 m eroarea absolută este de 1 cm, atunci eroarea relativă este de 1 cm / 11 m, adică 10 mm / 11000 mm, ceea ce înseamnă 1/1100, adică 0,909/1000. Dacă la aceeaşi mărime de 11 m eroarea este de 0,01 mm, atunci eroarea relativă este 0,01/11000, adică 0,00909/1000. Exprimându-le altfel, în primul caz eroarea relativă este de cca. 1/100, iar în al doilea este de cca. 1/10000. Vedem că în al doilea caz eroarea relativă este de 100 de ori mai mică decât în primul! Cu cât eroarea relativă este mai mică, cu atât spunem că măsurătoarea este mai precisă.
La cazul expus mai sus ca variantă, dacă măsurăm 100 km cu eroare absolută de 1 cm, atunci eroarea relativă este de 1 cm / 100 km, adică 1/1.000.000. Acum, dacă am aflat cum stau lucrurile, vom spune din start că această eroare relativă denotă o măsurătoare absurd de precisă!
Operaţii aritmetice cu numere aproximative
Să ne închipuim următoarele numere zecimale care au acelaşi număr de cifre semnificative: 12,653, 5,8834 şi 0,024586. Fiecare dintre ele are 5 cifre semnificative, nu-i aşa? Încercând să le adunăm, scriem astfel:
Când îi considerăm separat, fiecare dintre termenii adunării are precizia lui. Când, însă, îi punem împreună pentru a face adunarea, ne întrebăm: are rost să luăm în seamă zecimalele finale dincolo de a treia zecimală? Bunul simţ ne îndeamnă să ne limităm la cele 3 zecimale ale primului număr şi să rotunjim valorile de la care eliminăm zecimale. Ca urmare, adunarea ar arăta astfel:
Practic, din moment ce am păstrat a treia zecimală înseamnă că eroarea absolută este de 0,001. Cum cea mai mare valoare între termenii adunării este 12,653, vom deduce că eroarea reală este de 0,001/12,653, adică 1/12653.
Mergând mai departe, constatăm că scăderea este şi mai dramatică. Ia priviţi aici:
Şi aşa aveam îndoieli asupra ultimelor zecimale. Acum, însă, nu ne-au mai rămas decât acestea! Ce încredere putem avea în acest 0,00016? Oare cât de corect este şasele din coadă? Ei bine, pentru a răspunde la această întrebare facem uz chiar de eroarea relativă. Dacă la descăzut şi la scăzător am pus cinci zecimale, înseamnă că eroarea relativă este de 0,00001/12,56347, adică 1/1256347. Pentru diferenţa obţinută conform celor de mai sus, eroarea relativă va fi de 0,00001/0,00016, adică 1/16, nu-i aşa? Comparându-le, vom constata că eroarea relativă a diferenţei este de aproape 80.000 de ori mai mare decât cea a fiecăruia dintre termenii supuşi operaţiei de scădere!
Extinzând aceste raţionamente, veţi putea determina singuri ce influenţă au erorile la operaţiile de înmulţire sau de împărţire. Nu ne-am propus aici să tratăm exhaustiv toate situaţiile, ci numai să atragem atenţia asupra riscurilor în cazul real al prelucrării numerelor aproximative.
Concluzii
Atunci când obţinem nişte mărimi prin măsurare, sau când luăm de bune nişte mărimi date, este bine să ne lămurim cât de precise sunt aceste mărimi. În aprecierea unei mărimi vom ţine seama şi de cifrele semnificative.
Cea mai precisă măsurare a unei greutăţi de 1 kg se poate face cu dificultate până la nivelul a 1/100 mg, în condiţii de laborator şi cu precauţii nesfârşite. Asta înseamnă că eroarea relativă este de 1/100.000.000, adică avem încredere în a opta zecimală, iar cea de-a noua este îndoielnică. Să ne înţelegem: este vorba de a noua zecimală a valorii 1 (1 kg). Dacă ne referim la o greutate de 1 tonă, atunci va fi vorba tot de a noua zecimală, dar a valorii de 1 tonă. Dacă la 1 kg eroarea era de 1/100 mg, la 1 tonă eroarea este de 1/100 kg, adică 10 g.
La măsurarea lungimilor, cu greu se poate ajunge la a şaptea, opta zecimală a erorii relative. Uzual, în tehnică ne mulţumim cu eroarea relativă de 1/1000, sau cu PATRU cifre semnificative! Alfel spus, ne mulţumim ca la 1 m să nu fim siguri de 1 mm, la 10 cm să nu fim siguri de 0,1 mm, iar la 1 mm să nu fim siguri de 0,0001 mm. Dacă spunem că am măsurat o lungime şi am obţinut valoarea de 14,534 mm, va trebui să dovedim cu ce aparatură am făcut măsurătoarea ca să fim siguri de zecimala a treia (adică cifra 4). Altfel, ar trebui să spunem că valoarea măsurată este de 14,53 mm. Tot aşa, dacă am spune că am obţinut valoarea întreagă de 12347 mm, ar fi bine să precizăm că este mai sigură valoarea 
mm (rotunjind, totuşi, ultima zecimală).
Ei bine, fiind acum în cunoştinţă de cauză, dacă aflăm că sistemele GPS determină poziţiile obiectelor de pe Pământ (adică valori de ordinul zecilor de mii de kilometri) cu o precizie de ordinul metrilor, ar trebui să ni se ridice părul pe braţe de uimire!!