Sfera înscrisă într-un tetraedru

De la Capisci

Tot aşa cum un cerc poate fi înscris într-un triunghi, şi o sferă poate fi înscrisă într-un tetraedru. Tetraedrul este poliedrul cu cel mai mic număr de feţe (tetra = patru), cum şi triunghiul este poligonul cu cel mai mic număr de laturi. Centrul cercului înscris în triunghi se găseşte la intersecţia bisectoarelor unghiurilor triunghiului. Este suficient să trasăm două bisectoare pentru a găsi centrul acestui cerc. Centrul sferei înscrise în tetraedru se află la intersecţia planelor bisectoare ale unghiurilor diedre ale tetraedrului. Sunt suficiente trei plane bisectoare pentru a determina centrul acestei sfere. Problema pe care încercăm să o rezolvăm este de a construi efectiv sfera înscrisă în tetraedru.

Rezolvare

Se ştie că locul geometric al punctelor egal depărtate de două plane este planul bisector al unghiului diedru făcut de cele două plane. Se mai ştie că unghiul diedru făcut de două plane este egal cu unghiul plan făcut de două drepte perpendiculare pe linia de intersecţie a celor două plane. Dacă vă uitaţi în figura ce urmează vedeţi că, într-adevăr, distanţele de la orice punct din planul bisector până la cele două plane sunt egale:

Planul bisector [B1] a fost construit astfel încât arcul de cerc de pe laterală să fie împărţit în părţi egale. În aceste condiţii, proiecţiile A' şi A" ale punctului A pe planele [P1] şi [P2] formează cu punctul A segmentele egale AA' şi AA".

Se dă tetraedrul VABC din figura:

Aici nu a fost colorată faţa din prim plan, tocmai pentru a se vedea în interiorul tetraedrului. Să plasăm acum planul bisector al feţelor VAB şi VAC. Construim liniile din figura:

Din punctele B şi C am coborât perpendicularele BB' şi CK pe latura VA. Am dus apoi o paralelă prin K la BB' şi am obţinut dreapta care împreună cu CK măsoară unghiul diedru al feţelor VAB şi VAC. Dreptele determină planul în care ducem arcul cu centrul în K necesar pentru obţinerea punctului M (mijlocul arcului). Planul bisector este planul VAM, nu-i aşa? Acest plan este evidenţiat în figura:

Refacem figura pentru a găsi planul bisector care trece prin muchia VC:

Recunoaşteţi construcţiile geometrice anterioare. Planul bisector va arăta aşa:

În figura următoare sunt prezentate cele două plane bisectoare extinse complet în interiorul tetraedrului:

Linia galbenă este linia lor de interscţie şi nu este perpendiculară pe planul de bază (adică nu este o înălţime a tedraedrului oarecare). Punctele de pe această linie sunt egal depărtate faţă de planele VAB, VAC şi VBC nu-i aşa? Altfel spus, linia este locul geometric al punctelor egal depărtate de planele VAB, VAC şi VBC. Ne dăm acum seama că, dacă identificăm încă un al treilea plan bisector, punctul unde linia de intersecţie a primelor două înţeapă acest plan este centrul sferei căutate! De ce? Din cauză că acel punct va fi deopotrivă egal depărtat faţă de toate planele tetraedrului!

Să construim şi al treilea plan bisector, alegând de această dată planele VAB şi CAB:

Recunoaşteţi modul de construcţie de la planele anterioare. Iată cum arată şi al treilea plan bisector:

Avem de găsit intersecţia dreptei galbene cu acest plan, adică un simplu punct. Să figurăm mai întâi planul bisector abia găsit extins complet în interiorul tetraedrului:

Observaţi că a apărut punctul "w", unde dreapta galbenă obţinută anterior înţeapă ultimul plan bisector. Cu centrul în acest punct şi cu raza egală cu distanţa de la el până la oricare dintre feţele tedraedrului, construim, în sfârşit, sfera înscrisă în tetraedru.